CalculoTIC18 aleja: Derivadas

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcialy el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

Conceptos y aplicaciones

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, laTrigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de $f$ , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto $x$ . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente

Ejemplos.

Ejemplo #1

Sea $f \,$ la función $f(x)=2x^3-9x^2-24x+51 \,$ , definida sobre el conjunto de los números reales (denotado por $\mathbb R \,$ ). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:

$f^\prime(x)=6x^2-18x-24$

Para encontrar el signo de $f^\prime(x)$ , se tiene que factorizar:

$\begin{array}{rcl}f^\prime(x)&=&6(x^2-3x-4)\\&=&6(x+1)(x-4)\end{array}$

lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado.

También se observa su segunda derivada:

f''(x) = 12x - 18

Dado que $f'(-1)=0\,$ y $f''(-1)<0\,$ entonces $f\,$ tiene un máximo local en -1 y su valor es $f(-1)=64\,$ .

Dado que $f'(4)=0\,$ y $f''(4)>0\,$ entonces $f\,$ tiene un mínimo local en 4 y su valor es $f(4)=-61\,$ .

Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de $x$ tales que $f'(x)=0\,$ , los cuales son $x=-1\,$ y $x=4\,$ , tomando en cuenta el teorema del valor medio y que $f''(-1)<0\,$ entonces la derivada es negativa en el intervalo $(-1, 4)\,$ por lo tanto la función es decreciente en el intervalo $[-1, 4]\,$ .

Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo $[4, \infty)\,$ y en el intervalo $(-\infty, -1]\,$ .